Zykloide

Zykloide sind Bahnen, die ein Punkt auf dem Umfang eines Kreises mit Radius \(r_O\) beschreibt, wenn der Kreis entlang einer Strecke - z.B. ein Rad auf einer Straße - abrollt.

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Animation 1: normaler Zykloid

Liegt der Punkt innerhalb des Kreises (\(r_C\lt r_O\)), entsteht ein verkürzter Zykloid,

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Animation 2: verkürzter Zykloid

liegt er außerhalb (\(r_C\gt r_O\)), ein verlängerter.

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Animation 3: verlängerter Zykloid

Der gelbe Punkt O liegt auf dem Radius \(r_C\) und der grüne auf dm Radius \(r_O\), jeweils vom roten Mittelpunkt C ausgehend betrachtet, von wo aus auch die beiden Winkelgeschwindigkeiten des gelben und des grünen Punktes und damit auch deren Umlaufzeiten gleich sind. Daraus ergeben sich die Umlaufgeschwindigkeiten $$v_C=\frac{2\pi r_O}{t}=\omega\cdot r_O$$ und $$v_O=\frac{2\pi r_C}{t}=\omega\cdot r_C$$ Die Indices O und C sind hier aus dem Grunde vertauscht, weil \(v_C\) im Folgenden nur als Bewegungsgeschwindigkeit des Mittelpunktes C in Erscheinung treten soll. welche mit der Umlaufgeschwindigkeit des grünen Punktes identisch ist, nur halt auf einer Geraden stattfindet. Ferner wird der grüne Punkt in der Realität auch gar nicht beobachtet, weil es sich dabei lediglich um ein imaginäres Objekt für die Veranschaulichung der Zusammenhänge handelt. Setzt man die Radien oder die Geschwindigkeiten in ein Verhältnis i, ergibt sich $$i=\frac{r_O}{r_C}=\frac{v_C}{v_O}$$ für gleiche Zeitabschnitte t. Ein Verhältnis von \(i=0\) ergibt einen Kreis, Verhältnisse \(i\lt 1\) verkürzte und Verhältnisse \(i\gt 1\) verlängerte Zykloide.

Die gelben Punkte können per $$x=r_C\cdot cos(\delta\Theta)+r_O\cdot \delta\Theta$$ $$y=r_C\cdot sin(\delta\Theta)$$ bzw. per $$x=r_C\cdot cos(\delta\Theta)+v_C\cdot \delta t$$ $$y=r_C\cdot sin(\delta\Theta)$$ parametrisiert werden, wobei \(\delta\Theta\) der Wälzwinkel ist, um welchen sich die Position von O in der Zeit \(\delta t\) ändert.

In allen drei Animationen sieht man, wie der gelbe Punkt O auf dem blauen Pfad bis zur Hälfte des Pfades immer schneller werden muss, damit er den Mittelpunkt C überholen kann und anschließend wieder langsamer, damit er sich seinerseits wieder vom Mittelpunkt überholen lassen kann. Im Bezugssystem, in welchem sowohl Mittlepunkt C als auch umlaufendes Objekt O bewegt sind, kann \({v_O}'\) also keinesfalls mehr gleichmäßig sein, wenn \({v_C}'\) gleichmäßig ist und umgekehrt. Daraus folgt auch, dass wenn in diesem Bezugssystem sowohl \({v_O}'\) als auch \({v_C}'\) gleichmäßig sind, \({v_O}\) ruhend zum Mittelpunkt C nicht mehr gleichmäßig sein kann. Das lässt sich auch grafisch über Exenter veranschaulichen. Dazu zeichnet man zwei Kreise mit den Radien \(r_O\) und \(r_C\), wobei dich deren Umfänge in einem Punkt schneiden (Animationen 4 und 5).

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Animation 4: Interpretation von \({v_O}'\) bei gleichmäßigem \(v_O\) und \(v_C=0,5c\)

Beobachtet wird der orangene Punkt vom roten Punkt aus und für ihn wird eine gleichmäßige und kreisförmige Bewegung wahrgenommen (schwarzer Kreis). Der gelbe Punkt stellt die Projektion der tatsächlichen Bewegung auf dem Zykloid dar (blaue Sichtlinie), welche demnach ungleichmäßig ist und der grüne Punkt eine gleichmäßige Bewegung entlang dieses Zykloids (grauer Kreis).

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Animation 5: Interpretation von \(v_O\) bei gleichmäßigem \({v_O}'\) und \(v_C=0,5c\)

Beobachtet wird der orangene Punkt vom roten Punkt aus und für ihn wird eine ungleichmäßige und kreisförmige Bewegung wahrgenommen (schwarzer Kreis). Eine im Vergleich dazu gleichmäßige Bewegung zeigt der grüne Punkt. Der gelbe Punkt stellt die Projektion (blaue Sichtlinie) der tatsächlichen diesmal gleichmäßigen Bewegung auf dem Zykloid dar (grauer Kreis).

Für unabhängig umlaufende Objekte mit Masse (z.B. Sonne, Planet, Mond) dürfte Animation 5 und für zusammenhängende Objekte mit starrer Drehachse (z.B. eine auf dem Durchmesser rotierende Münze) Animation 4 zutreffend sein. Zu den Animationen sei noch bemerkt, dass stets nur der orangene Punkt auf dem schwarzen Kreis beobachtet wird. der gelbe Punkt ist jeweils nur zur Berechnung und der grüne Punkt jeweils zum Vergleich.

\({{v_O}_{max}}'\) muss also stets größer sein, als \({v_C}'\), denn spätestens wenn \({v_O}'={v_C}'\) ist, kann das Objekt O dem Mittelpunkt C nur noch folgen. Aus dem Bezugssystem, in welchem sich sowohl Zentrum als auch umlaufendes Objekt bewegen, sieht das Ganze wie folgt aus.

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centerSpeed (vC)

numPoints

\(L_{Cy}\cdot(2\pi r_O)^{-1}=\gamma_{v_O}\)

γ(vO)

γ(vC)

orbitSpeed (vO)

averageSpeed (vO')

ratio (i)

Mit c ist hier nicht zwangsläufig die Lichtgeschwindigkeit gemeint, sondern eher die Umfangsgeschwindigkeit \({v_O}'\) in dem Bezugssystem, in welchem sich sowohl das Zentrum C als auch das umlaufende Objekt O bewegen, und diese muss, wie gesagt, die höhere der beiden Geschwindigkeiten (\({v_C}'\) und \({v_O}'\)) sein, demnach im Zweifelsfalle maximal 1c - also Lichtgeschwindigkeit.

Die Geschwindigkeit \({v_O}'\) ergibt sich einerseits aus dem arithmetischen Mittelwert der Einzelgeschwindigkeiten auf dem Pfad \(L_{Cy}\) von O und andererseits aus $$ {v_O}'=v_O\cdot\frac{L_{Cy}}{2\pi r_O}\Rightarrow\gamma_{v_O}=\frac{L_{Cy}}{2\pi r_O}$$ wobei \(L_{Cy}\) die Länge des Zykloids (blaue Linien in den Animationen 1 - 3) von Objekt O und \(2\pi r_O\) die selbe Strecke aus Sicht vom Zentrum C ist. Eigentlich gilt also $${v_O}'=v_O\cdot{\gamma_{v_O}}$$ wobei \(v_O \) die vom Zentrum C beobachtete Geschwindigkeit bzw. das arithmetische Mittel aller dort beobachteten Einzelgeschwindigkeiten ist und \({v_O}'\) die Geschwindigkeit bzw. das arithmetische Mittel aller Einzelgeschwindigkeiten im Bezugssystem, in dem sowohl das umlaufende Objekt O als auch das Zentrum C bewegt sind. Welche von beiden Geschwindigkeiten letztendlich die Gleichmäßige ist, hängt von der Situation (Animationen 4 und 5) ab. \(\gamma_{v_O}\cdot2\pi\) ist bei einem Verhältnis i=1 exakt 8. Für normale Zykloide folgt daraus auch unmittelbar das Verhältnis von Radius zu Zykloidlänge von 8r bzw. vom Umfang zur Zykloidlänge von \(\frac{4}{\pi}=\gamma_{v_O}(0,5c)\approx 1,273\). Nebenbei: \(\gamma_{L}(0,5c)\approx 1,155\) (L für Lorentz). Die beiden \(\gamma\)-Faktoren stehen im folgenden Verhältnis:


Abb 1: Verhältnis \(\gamma_{{v_O}'}\) zu \(\gamma_{v_C}\) und \({\gamma_{v_C}}^2\)

\(\gamma_{{v_O}'}\) steigt zunächst weniger als \(\gamma_{v_C}\) und \({\gamma_{v_C}}^2\) und später stärker. Die Graphen für \(\gamma_{{v_O}'}\) und \(\gamma_{v_C}\) schneiden sich etwa bei v=0,315c und die Graphen für \(\gamma_{{v_O}'}\) und \({\gamma_{v_C}}^2\) etwa bei v=0,548c.