Quelle: Wikipedia (vertikal gespiegelt)
Der Doppler-Effekt wurde bekannt durch seinen Namensgeber Christian Doppler, der damit bereits 1842 versuchte, Astronomen davon zu überzeugen, dass eben dieser Effekt dafür verantwortlich sei, dass bei Doppelsternen zwischen den beiden Partnersternen Rot-/Blauverschiebungen erkennbar sind. Die Grundlagen zum Doppler-Effekt sind heute trivial. Er taucht in Systemen auf, in denen eine Signalbewegung gegenüber einem Medium konstant ist, wie z.B. Schall in Luft. Einem Medium selbst wird dabei kein Bewegungszustand zugesprochen - ein Vakuum (absolut leerer Raum) kann deswegen auch als Medium betrachtet werden.
Als grundlegende Formel gilt \[ c=f\cdot\lambda \] wobei c die Signalgeschwindigkeit im Medium, \( \lambda \) eine Wellenlänge und f eine Frequenz ist. Allgemein gilt \[ c=f\cdot\lambda=f'\cdot\lambda' \] und \[ \frac{f}{f'}=\frac{\lambda'}{\lambda}=\frac{c-v_Q}{c+v_E} \] wobei die gerstrichenen Werte die Werte aus dem mit v bewegten System sind. \( v_E \) ist dabei die Geschwindigkeit eines bewegten Empfängers und \( v_Q \) die eines bewegten Senders. Man erkennt deutlich, dass die Wellenlänge um so kleiner wird, je größer die Frequenz wird, weil c im Medium ja konstant ist.
Aus dieser verallgemeinerten Beziehung ergibt sich auch unmittelbar der Doppler-Effekt für bewegte Sender und bewegte Empfänger \[ f'=f\Big(\frac{c+v_E}{c-v_Q}\Big) \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\Big(\frac{c-v_Q}{c+v_E}\Big) \] für Wellenlängen.
Ruht der Sender im Medium, so ist seine Geschwindigkeit gegenüber dem Medium \( v_Q=0 \), also gilt für den Sender \[ c-v_Q=c \] Der Empfänger empfängt somit die Frequenz \[ f'=f\Big(\frac{c+v_E}{c}\Big)=f\Big(1+\frac{v_E}{c}\Big) \] Die wahrgenommene Wellenlänge verkürzt sich entsprechend der Frequenz, also ergibt sich für \( \lambda' \) \[ \lambda'=\lambda\Big(\frac{c}{c+v_E}\Big)=\frac{\lambda}{1+\frac{v_E}{c}} \] Physikalisch ändern sich die Wellenlängen im Medium jedoch nicht.
Bewegt sich jedoch der Sender im Medium, verändert dieser durch seinen fortwährenden Positionswechsel die Wellenlänge im Medium, was sich auf die Frequenz auswikt, die im Medium nach wie vor mit Signalgeschwindigkeit c unterwegs ist und so verändert auch von im Medium ruhenden Empfängern \( (v_E=0) \) empfangen wird. Ein im Medium ruhender Empfänger empfängt deswegen die Frequenz \[ f'=f\frac{c}{c-v_Q}=\frac{f}{1-\frac{v_Q}{c}} \] also gilt für die Wellenlängen analog \[ \lambda'=\lambda\Big(\frac{c-v_Q}{c}\Big)=\lambda\Big({1-\frac{v_Q}{c}}\Big) \] Das Ganze gilt bis hier her für Bewegungen, die parallel zur Signalbewegung verlaufen (0° und 180°) und wird longitudinaler Doppler-Effekt genannt.
Etwas weniger trivial wird es, wenn die Bewegungen von Quelle und/oder Empfänger nicht direkt aufeinander zu bzw. von einander weg verlaufen, sondern in einiger Entfernung an der Schallquelle bzw. am Empfänger vorbei. Nähern sich Sender und Empfänger einander an, dann verringert sich ihr Winkel zueinander von nahezu 180° bis auf nahezu 0° und der Doppler-Effekt verschwindet theoretisch (Grundlage: Aberration) bei einem Winkel von 90° oder der Winkel nimmt von nahezu 180° bis zu nahezu 360° zu und der Doppler-Effekt verschwindet dann theoretisch bei einem Winkel von 270°. Geschwindigkeit und Winkel ergeben hier sozusagen einen Geschwindigkeitsvektor und da der Betrag eines Vektors immer positiv ist, sollten hier auch die Geschwindigkeiten stets positiv sein.
Der sich ändernde Winkel muss einfach nur an entsprechenden Stellen in die grundlegende Formel eingefügt werden und zwar sowohl für die Geschwindigkeit des Senders als auch für die Geschwindigkeit des Empfängers \[ f'=f\Big(\frac{c+v_E\cdot cos\,\alpha}{c-v_Q\cdot cos\,\alpha}\Big) \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\Big(\frac{c-v_Q\cdot cos\,\alpha}{c+v_E\cdot cos\,\alpha}\Big) \] für Wellenlängen. Normalerweise wären die Winkel für Sender und Empfänger stets um 180" verdreht, aber das erreicht man auch mit dem Negieren der Vorzeichen für die jeweilige Geschwindigkeit und deswegen kann man einen Winkel für beide Geschwindigkeiten verwenden.
Da der Empfänger ruht, ist seine Geschwindigkeit \( v_E=0 \) und daraus folgt \[ f'=f\frac{c}{c-v_Q\cdot cos\,\alpha}=\frac{f}{1- \frac{v_Q}{c}\cdot cos\,\alpha} \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\Big(\frac{c-v_Q\cdot cos\,\alpha}{c}\Big)=\lambda\Big({1- \frac{v_Q}{c}\cdot cos\,\alpha}\Big) \] für Wellenlängen.
Da der Sender ruht, ist seine Geschwindigkeit \( v_Q=0 \) und daraus folgt \[ f'=f\Big(\frac{c+v_E\cdot cos\,\alpha}{c}\Big)=f\Big(1+ \frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha\Big) \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\frac{c}{c+v_E\cdot cos\,\alpha}=\frac{\lambda}{1+ \frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha} \] für Wellenlängen.
Der optische Doppler-Effekt beruht auf der Tatsache, dass beliebige Uhren, die bewegt werden, langsamer gehen und von langsamer gehenden Uhren sind natürlich auch Frequenzen betroffen, die ohne Uhren logischerweise nicht gemessen, geschweige denn generiert werden können. Uhren gehen, solange deren Mechanik massebehaftet ist, auch langsamer, wenn sie stärkeren Gravitationsfeldern ausgesetzt sind, allerdings ist dies für den Doppler-Effekt belanglos und ich erwähne es nur der Vollständigkeit halber. Natürlich basiert der optische Doppler-Effekt auf dem akustischen Doppler-Effekt und wird daher eigentlich nur um den Verlangsamungs-Faktor (Lorentz-Faktor γ) \[ \gamma_v=\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\big(\frac{v}{c}\big)^2}} \] der Uhr erweitert.
Grundlage ist wieder \[ \frac{f}{f'}=\frac{\lambda'}{\lambda}=\frac{c-v_Q}{c+v_E} \] nur halt erweitert um die Lorentz-Faktoren \( \gamma_{v_Q} \) und \( \gamma_{v_E} \) \[ \frac{f}{f'}=\frac{\lambda'}{\lambda}=\frac{\gamma_{v_Q}\cdot(c-v_Q)}{\gamma_{v_E} \cdot(c+v_E)}=\sqrt{\frac{(c-v_E)\cdot(c-v_Q)}{(c+v_Q)\cdot(c+v_E)}} \] Ruht der Sender, ist \( v_Q=0 \) und wenn der Empfänger ruht ist \( v_E=0 \) und so ergibt sich für beide Fälle \[ \frac{f}{f'}=\frac{\lambda'}{\lambda}=\sqrt{\frac{c-v_L}{c+v_L}}=\gamma_{v_L}\cdot \Big(1-\frac{v_L}{c}\Big)=\frac{1}{\gamma_{v_L}\cdot\Big(1+\frac{v_L}{c}\Big)} \] wobei \( v_L \) als Relativgeschwindigkeit zwischen Sender und Empfänger bezeichnet wird. Der Lorentz-Faktor macht den optischen Doppler-Effekt also symmetrisch und da sich laut Relativitätsprinzip ein Jeder gleichberechtigt als ruhend betrachten darf, ist hier auch nur die Version mit einer Geschwindigkeit \( (v_L) \) relevant.
Die Herleitung für beliebige Winkel ist demnach ähnlich trivial - es gilt \[ \frac{f}{f'}=\gamma_{v_L}\cdot\Big(1-\frac{v_L}{c} \cdot cos\,\alpha\Big)=\frac{1}{\gamma_{v_L}\cdot\big(1+\frac{v_L}{c}\cdot cos\,\alpha\big)} \] für Frequenzen und \[ \frac{\lambda}{\lambda'}=\gamma_{v_L}\cdot\Big(1+\frac{v_L}{c}\cdot cos\,\alpha\Big)=\frac{1}{\gamma_{v_L}\cdot\big(1-\frac{v_L}{c} \cdot cos\,\alpha\big)} \] für Wellenlängen.
Aus dem Vorangegagenem geht hervor, dass man \[ \frac{f}{f'}=\sqrt{\frac{c-v_L}{c+v_L}} \] und \[ \frac{f}{f'}=\sqrt{\frac{(c-v_B) \cdot(c-v_A)}{(c+v_A)\cdot(c+v_B)}} \] gleichsetzen und nach \( v_L \) auflösen kann. Dazu entferne man zuerst die Wurzeln, indem man beide Seiten quadriert und multipliziere über Kreuz \[ (c-v_L)(c+v_A)(c+v_B)=(c+v_L)(c-v_A)(c-v_B) \] Nach dem Ausmultiplizieren erhält man links \[ \color{blue}{c^3}\color{black}{-c^2v_L+c^2v_A}\color{blue}{-cv_Av_L}\color{black}{+c^2v_B}\color{blue}{-cv_Bv_L+cv_Av_B} \color{black}{-v_Av_Bv_L} \] und rechts \[ \color{blue}{c^3}\color{black}{+c^2v_L-c^2v_A}\color{blue}{-cv_Av_L}\color{black}{-c^2v_B} \color{blue}{-cv_Bv_L+cv_Av_B}\color{black}{+v_Av_Bv_L} \] wobei die blauen Terme wegen der gleichen Vorzeichen verschwinden und übrig bleibt \[ c^2v_A-c^2v_L+c^2v_B-v_Av_Bv_L=c^2v_L-c^2v_A-c^2v_B+v_Av_Bv_L \] und das kann man nun so anordnen, dass man auf beiden Seiten möglichst positive Werte hat \[ 2c^2v_A+2c^2v_B=2c^2v_L+2v_Av_Bv_L \] Als nächstes \( 2c^2 \) auf beiden Seiten ausklammern und kürzen \[ v_A+v_B=v_L+\frac{v_Av_Bv_L}{c^2} \] und dann noch \( v_L \) auf der rechten Seite ausklammern \[ v_A+v_B=v_L\Big(1+\frac{v_Av_B}{c^2} \Big) \] nun noch entsprechend teilen und die Seiten vertauschen und schon ist man beim relativistischen Geschwindigkeitsadditionstheorem \[ v_L=\frac{v_A+v_B}{1+\frac{v_Av_B}{c^2}} \] Da am Anfang dieser Herleitung quadriert wurde, ergibt sich auch noch eine negative Lösung des Ganzen \[ v_L=\frac{v_B-v_A}{1-\frac{v_Av_B}{c^2}} \] und das funktioniert auch viel besser für Geschwindigkeiten in Zeit-Weg-Diagrammen, wo Geschwindigkeiten in Richtung negativer X-Achse negativ und Richtung positiver X-Achse positiv sind. In solchen Diagrammen Ist die Geschwindigkeit, deren Startpunkt links ist, \( v_A \) und die, mit dem Startpunkt rechts davon, \( v_B \) und so ergeben sich dann auch die korrekten Werte, wenn sich Objekte aufeinander zu (negativ) oder voneinander weg (positiv) bewegen.
Was einem aber auf die Art der Herleitung eventuell noch entgangen sein könnte, ist die Tatsache, dass hier Lorentz-Faktoren weggekürzt wurden, die unendlich sein können, wenn \( v_A \) oder \( v_B \) \( c \) ist. Und da man \( \infty\cdot\infty^{-1} \) nicht kürzt, weil das Ergebnis nicht 1, sondern Undefiniert ist, ergibt sich für das hergeleitete Theorem der Gültigkeitsbereich \( -c\lt v\lt c \) und das ist auch logisch darin begründet, dass Licht Objekte, die ebenfalls mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sind, nicht erreichen kann und zwar weder vor noch nach der Reflexion. Aus diesem Grunde würden auch Lichtuhren stehen bleiben, wenn sie mit Vakuumlichtgeschwindigkeit unterwegs sind. Für Schall gilt dieser Gültigkeitsbereich natürlich nicht, aber bei Sonar gilt auch eher das klassische Geschwindigkeitsadditionstheorem nach Galilei \[ v_G=v_B-v_A \]
Dem Doppler-Effekt liegt ganz offensichtlich die Formel der Abberation zu Grunde, diese arbeitet jedoch grundsätzlich mit Objekten (z.B. Photonen), also eher mit Vorhaltewinkeln z.B. wie bei einem einzelnen Gewehrschuss. Beim Doppler-Effekt hat man es aber nun mal mit Frequenzen zu tun, also sozusagen mit zwei oder mehr aufeinander folgenden Objekten, wie bei einer Schussfolge. Die Frage ist nun unter welchem Winkel die Periodendauer einer Welle beim Empfang genauso lang ist, wie beim Senden.
Mit den vorgestellten Formeln für beliebige Winkel beim akustischen Doppler lässt sich folgende Grafik erstellen:
und diese zeigt ganz offensichtlich nicht diese bekannten Kreise, wie sie aus einschlägiger Literatur, wie z.B. auf Wikipedia zu sehen sind
sondern eher Grafiken, wie sie aus Berechnungen für Ereignishorizonte schwarzer Löcher oder Ähnlichem bekannt sind. Darüber hinaus kommen mir die Bereiche, die auf der y-Achse über den Radius (also dem maximalen y-Wert des Ruhesystems bei 90°) hinaus gehen, äußerst suspekt vor. Um diese Bereiche zu erreichen, muss die Welle unter bestimmten Winkeln sowohl bei Licht als auch bei Schall mit >c unterwegs sein.
Hier stimmt also etwas ganz und gar nicht und jeder, der sich ein wenig mit Javascript auskennt, wird im Quelltext sehen, dass ich die korrekte Formel verwendet und vor allem auch in beiden Fällen (normal und mit Kehrwert) korrekt damit gerechnet habe. Selbst wenn dies nicht der Fall sein sollte, so ergibt sich auch aus keiner anderen Kombination die erwartete Wellenausbreitung.
Also versuche ich mal etwas aus den Grafiken mit den Kreisen herzuleiten, weil ich mir beim besten Willen nicht vorstellen kann, dass der Doppler-Effekt für beliebige Winkel in der Realität solche Grafiken, wie oben in der Demo liefern soll, auch dann nicht, wenn das Medium wegen der Bewegung der Quelle eine Strömung erzeugt. Solange das Medium jedoch keine Strömung erzeugt (Idealfall), breiten sich einzelne Schwingungen kreisförmig aus und selbst wenn eine Strömung erzeugt würde, würde die "Bugwelle" allenfalls abgeflacht, aber keinesfalls eingedellt. In der zweiten Demo betrachte ich den Idealfall ohne Strömung. Darüber hinaus lege ich hier nicht die Aberration zu Grunde, denn weder bei Frequenzen noch bei Wellenlängen handelt es sich um einzelne punktförmige Objekte, sondern stets um zwei aufeinander folgende punktförmige Objekte, deren Abstand in beiden Systemen identisch sein muss, damit der Doppler-Effekt unter einem bestimmten Winkel verschwindet.
Nachdem ich die Kreise abhängig von der Geschwindigkeit gemäß Bild von Wikipedia angeordnet habe, suche ich zunächst einen Winkel, unter welchem die Strecken der aufsummierten Wellenlängen einer konstanten Anzahl an Schwingungen (grüne Linien) gleich lang sind, wobei ich das Ruhesystem (graue Kreise) mit dem bewegten System (blaue Kreise) vergleiche. Erwartungsgemäß dürfte es sich dabei um die Strecken handeln, die auf der halben Strecke vt senkrecht auf dem äußeren Radius (Strecke ct) des Ruhesystems liegt. Der gesuchte Winkel wäre demnach also \[ \beta=acos\Big(\frac{vt}{2ct}\Big) \] für das Ruhesystem, aber da ich den Winkel für das bewegte System suche, wird es wohl der Winkel \[ \alpha=acos\Big(-\frac{vt}{2ct}\Big) \] am anderen Ende der Strecke vt sein und da sich die Zeit t dort heraus kürzt, bleibt \[ \alpha=acos\Big(-\frac{v}{2c}\Big) \] übrig und Aufgrund der bisherigen Erfahrungen, die ich auf dieser Seite gesammelt habe, gehe ich fortan davon aus, dass dieses der Winkel ist, unter welchem der Doppler-Effekt verschwindet.
Als nächstes suche ich eine Formel für den Doppler-Effekt bei beliebigen Winkeln und diese muss mit dem hinreichend bestätigten longitudinalen akustischen Doppler-Effekt und dem gerade gefundenen Winkel übereinstimmen, unter dem der Doppler-Effekt verschwindet. Zur Verfügung stehen dabei die beiden Strecken vt und ct sowie besagter Winkel α. Mit diesen Infos kommt man nach ein wenig Nachdenken direkt auf den Kosinussatz, der da lautet \[ c^2= a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\,\beta \] oder für diesen Fall hier \[ (v_Qt)^2= x^2+(ct)^2-2\cdot x\cdot ct\cdot cos(180°-\alpha)=x^2+(ct)^2-2\cdot x\cdot ct\cdot -(cos\,\alpha) \] was aufgelöst nach x \[ x=\frac{v_Q}{c}\cdot (-cos\,\alpha)+\sqrt{\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2} \] ergibt. Diese Grundformel wurde für bewegte Sender hergeleitet und die Grundformel für bewegte Empfänger lautet \[ x=\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha +\sqrt{\Big(\frac{v_E}{c}\Big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_E}{c}\Big)^2} \] Wer meint, er könne \( (v_Qc^{-1})^2 \) bzw. \( (v_Ec^{-1})^2 \) noch ausklammern, dem sei gesagt, dass sich daraus bei negativen Geschwindigkeiten vor der Wurzel ein positives und ein negatives \( vc^{-1} \) ergeben würde, was weiteres Ausklammern unmöglich macht, bzw. zu einer überflüssigen Fallunterscheidung führt. Eigentlich egibt sich hier vor den Wurzeln jeweils auch eine negative Lösung, aber hier genügen die Positiven, weil sich die Quadranten (Richtungen) durch den Winkel α bzw. dem Vorzeichen von dessen Kosinus ergeben (Geschwindigkeitsvektor).
Bei der Freistellung nach x kann man durch die Beziehung \[ (sin\,\alpha)^2 + (cos\,\alpha)^2 = 1\] noch auf \[ x=\sqrt{1-\frac{{v_Q}^2}{c^2}(sin\,\alpha)^2}-\frac{v_Q}{c}cos\,\alpha \] bzw. auf \[ x=\sqrt{1-\frac{{v_E}^2}{c^2}(sin\,\alpha)^2}+\frac{v_E}{c}cos\,\alpha \] vereinfachen und diese Formeln sind zumindest in der Äthertheorie längst bekannt. Für Programmierer ist dies aber zu Gunsten der Performance (zusätzlich zum Kosinus müsste auch noch der Sinus berechnet und zwischengespeichert werden) weniger praktikabel, weswegen ich beim Ursprünglichen bleibe.
Aus den auf diese Art hergeleiteten Formeln lassen sich nun analog zum herkömmlichen Doppler-Effekt entsprechende Formeln herleiten.
Für den modifizierten akustischen Doppler-Effekt für beliebige Winkel ergibt sich nun \[ \lambda'=\lambda\cdot\Bigg(\frac{v_Q}{c}\cdot (-cos\,\alpha)+\sqrt{\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2}\Bigg) \] für Wellenlängen und \[ f'= \frac{f}{\frac{v_Q}{c}\cdot (-cos\,\alpha)+\sqrt{\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}} \] für Frequenzen und das soll sogleich getestet werden.
Et voilá! Alles wunderbar kreisförmig und kein y-Wert ist höher als die Maximale y-Auslenkung im Ruhesystem. Für den modifizierten optischen Doppler-Effekt kommt noch der Lorentz-Faktor hinzu. Hier gilt \[ f'=\frac{f}{\gamma_{v_Q}\cdot\Big(\frac{v_Q}{c}\cdot(-cos\,\alpha)+\sqrt{\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2\cdot (-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}\Big)} \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\cdot\gamma_{v_Q}\cdot\Bigg(\frac{v_Q}{c} \cdot(-cos\,\alpha)+\sqrt{\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_Q}{c}\Big)^2}\Bigg) \] für Wellenlängen. Allerdings skaliert der Lorentz-Faktor die Grafik nur, weswegen ich mir eine Demo dazu erspare.
Für den modifizierten akustischen Doppler-Effekt ergibt sich analog dazu \[ f'=f\cdot\Bigg(\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\Big( \frac{v_E}{c}\Big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_E}{c}\Big)^2}\Bigg) \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\frac{\lambda}{ \frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c}\big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_E}{c}\big)^2}} \] für Wellenlängen. Beim modifizierten optischen Doppler-Effekt kommt, wie gehabt, noch der Lorentz-Faktor hinzu und daraus ergibt sich \[ f'=f\cdot \gamma_{v_E}\cdot\Bigg(\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\Big(\frac{v_E}{c}\Big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\Big(\frac{v_E}{c}\Big)^2} \Bigg) \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\frac{\lambda}{\gamma_{v_E}\cdot\Bigg(\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c} \big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_E}{c}\big)^2}\Bigg)} \] für Wellenlängen. Natürlich ändern sich die Wellenlängen auch hier nicht wirklich, sie werden aber über die Frequenz und der zu Grunde liegenden Formel so berechnet.
Für bewegten Sender und bewegten Empfänger müssen die vorhergehenden Formeln nur wieder entsprechend zusammengefasst werden. Es ergibt sich für den modifizierten akustischen Doppler-Effekt \[ f'=f\cdot\frac{\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c}\big)^2\cdot (cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_E}{c}\big)^2}}{\frac{v_Q}{c}\cdot(-cos\,\alpha)+\sqrt{\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2 \cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}} \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\cdot\frac{\frac{v_Q}{c}\cdot(-cos\,\alpha)+\sqrt{\big( \frac{v_Q}{c}\big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}}{\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c}\big)^2 \cdot(cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_E}{c}\big)^2}} \] für Wellenlängen sowie für den modifizierten optischen Doppler-Effekt \[ f'=f\cdot \frac{\gamma_{v_E}\cdot\Big(\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c}\big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_E}{c} \big)^2}\Big)}{\gamma_{v_Q}\cdot\Big(\frac{v_Q}{c}\cdot(-cos\,\alpha)+\sqrt{\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2 \cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}\Big)} \] für Frequenzen und \[ \lambda'=\lambda\cdot\frac{\gamma_{v_Q}\cdot\Big(\frac{v_Q}{c}\cdot(-cos\,\alpha) +\sqrt{\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2\cdot(-cos\,\alpha)^2+1-\big(\frac{v_Q}{c}\big)^2}\Big)}{\gamma_{v_E} \cdot\Big(\frac{v_E}{c}\cdot cos\,\alpha+\sqrt{\big(\frac{v_E}{c}\big)^2\cdot(cos\,\alpha)^2+1-\big( \frac{v_E}{c}\big)^2}\Big)} \] für Wellenlängen, allerdings gilt hier, wie schon beim herkömmlichen optischen Doppler-Effekt für beliebige Winkel die Symmetrie zwischen bewegtem Sender und bewegtem Empfänger, was die letzten beiden Formeln auch hier überflüssig macht.
Beim Vergleich der herkömmlichen und modifizierten akustischen Doppler-Effekte lässt sich nun etwas interessantes beobachten.
Für parallele und antiparallele Wellenlängen (Hin- und Rückwege) ergibt das geometrische Mittel beim modifizierten Doppler-Effekt für jedes Winkelpaar \( \alpha \) und \( 180°-\alpha \) den Kehrwert des Lorentz-Faktors, während das arithmetische Mittel zwischen 1 und dem Kehrwert des Lorentz-Faktors schwankt. Beim herkömmlichen Doppler-Effekt hingegen ist das arithmetische Mittel für die selben Winkel, unabhängig von der Geschwindigkeit, immer 1, während das geometrische Mittel zwischen 1 und dem Kehrwert des Lorentz-Faktors schwankt. Die schwankenden Werte sind dabei zwischen modifiziert und herkömmlich um 90° verdreht - modifiziert erreicht das arithmetische Mittel den Kehrwert des Lorentz-Faktors bei 90° bzw. 270° und ist 1 bei 0° bzw. 180° und herkömmlich ist das geometrische Mittel 1 bei 90° bzw. 270° und der Kehrwert des Lorentz-Faktors bei 0° bzw. 180°. Sowohl arithmetisches als auch geometrisches Mittel werden noch interessant, wenn es um Strecken- und Geschwindigkeitsmessungen geht.